論理代数の基礎と法則
19世紀半ばのアイルランドの数学者 ジョージ・ブル 論理代数を開発した（「思考法則の研究」）。したがって、論理代数とも呼ばれます ブール代数.
文字指定を与え、論理変換の操作をアクション記号で表現し、これらのアクションに対して確立された規則と公理を使用することにより、論理代数により、ステートメントロジックの観点から与えられた問題を解決する推論プロセスをアルゴリズムで完全に記述することができます。つまり、この問題を解決する数学的に書かれたプログラムを持つことです。
ステートメントの真偽を示す (つまり、ステートメントを評価するための値を導入する) ために、論理代数ではこの場合に便利な 2 項体系が使用されます。ステートメントが true の場合は値 1 をとり、false の場合は値 0 をとります。2 進数とは異なり、論理 1 と 0 は量ではなく状態を表します。
したがって、ブール代数を使用して記述された電気回路では、1 は電圧の存在、0 は電圧の不在を表し、いくつかの電源から回路の 1 つのノードへの電圧の供給 (つまり、回路のいくつかの論理ユニットの到着) は次のようになります。ノードの合計電圧ではなく、その存在のみを示す論理ユニットとしても表示されます。
論理回路の入力信号と出力信号を記述する場合、論理値 0 または 1 のみの値を取る変数が使用されます。入力に対する出力信号の依存関係が決まります。 論理演算（関数）… 入力変数を X1 と X2 で表し、それらの論理演算によって得られる出力を y で表します。
もう一回考えて 3 つの基本的な初歩的な論理演算、その助けを借りて、ますます複雑なものを記述することができます。
1. OR 演算 - 論理和:
変数の考えられるすべての値を考慮すると、出力に 1 つの単位を生成するには、入力に少なくとも 1 つの単位があれば十分であるとして OR 演算を定義できます。操作の名前は、「OR が 1 つの入力、または 2 番目が 1 の場合、出力は 1」というフレーズの共用体 OR の意味論的な意味によって説明されます。
2. 演算 AND — 論理積:
変数の値の完全なセットを考慮すると、AND 演算は、出力で 1 を得るために入力のすべての 1 と一致する必要があると定義されます。「AND が 1 つの入力で、2 番目が 1 の場合、出力は 1 つです。 «
3. 演算 NOT — 論理否定または反転。 変数の上のバーで示されます。
反転すると、変数の値が反転されます。
論理代数の基本法則:
1. ゼロセットの法則: 他の変数の値に関係なく、変数のいずれかがゼロであれば、任意の数の変数の積は消滅します。
2. 万有集合の法則 — 少なくとも 1 つの変数の値が 1 であれば、他の変数に関係なく、任意の数の変数の合計は 1 になります。
3. 繰り返しの法則 — 式内で繰り返される変数は省略できます (つまり、ブール代数では、べき乗や数値係数による乗算はありません)。
4. 二重反転の法則 — 2 回実行される反転は空の操作です。
5. 相補性の法則 — 各変数とその逆数の積はゼロです。
6. 各変数とその逆数の合計は 1 になります。
7. 保護法 — 乗算および加算演算の実行結果は、変数の順序に依存しません。
8. 結合法 — 乗算および加算演算中に、変数は任意の順序でグループ化できます。
9. 流通法 — 合計係数を括弧の外に置くことは許可されています。
10. 吸収の法則 — すべての因子と項の変数に関係する式を簡略化する方法を示します。
11. ド・モルガンの法則 — 積の反転は変数の反転の合計です。
合計の反転は変数の反転の積です。
