ベクトル場の流れと循環

Nリチャード・ファインマンの講義資料に基づく

ベクトル場の観点から電気の法則を説明するとき、ベクトル場の 2 つの数学的に重要な特徴、磁束と循環に直面します。これらの数学的概念が何であるか、そしてそれらの実際的な意味が何であるかを理解できれば幸いです。

質問の 2 番目の部分は、流れと循環の概念が中心となるため、すぐに答えるのは簡単です。 マクスウェル方程式、現代のすべての電気力学は実際にこれに基づいています。

したがって、たとえば、電磁誘導の法則は次のように定式化できます。閉ループ C に沿った電場 E の循環は、閉ループによって境界付けられた表面 S を通る磁場 B の磁束の変化率に等しいです。ループB。

以下では、明確な流体例を使用して、場の特性がどのように数学的に決定され、そこからこれらの場の特性が取得および取得されるかを非常に簡単に説明します。

ベクトル場磁束

まず、調査対象の領域の周囲に完全に任意の形状の特定の閉曲面を描画しましょう。この表面を描いた後、フィールドと呼ばれる研究対象がこの閉じた表面を流れるかどうかを尋ねます。これが何を意味するのかを理解するために、簡単な液体の例を考えてみましょう。

特定の流体の速度場を調査しているとします。このような例では、次の質問をするのが理にかなっています。単位時間当たり、このサーフェスによって境界付けられるボリュームに流入する流体よりも多くの流体がこのサーフェスを通過しますか?言い換えれば、流出速度は常に主に内側から外側に向かうのでしょうか?

「ベクトル場流束」という表現 (そしてこの例では、「流体速度流束」という表現のほうがより正確です) によって、与えられた条件によって境界が定められた考慮された体積の表面を流れる仮想流体の総量を命名することに同意します。閉じた曲面 (流体流量の場合、単位時間あたりの体積からどれだけの流体が流れるか)。

その結果、表面要素を通る磁束は、表面要素の面積と速度の垂直成分の積に等しくなります。その場合、表面全体にわたる合計（合計）磁束は、内側から外側に数えて、速度の平均法線成分と合計表面積の積に等しくなります。

さて、電場の話に戻ります。もちろん、電場をある液体の流れの速度とみなすことはできませんが、液体の速度の流れとして上で説明したものと同様に、流れの数学的概念を導入する権利はあります。

電場の場合にのみ、その磁束は電場強度 E の平均法線成分によって決定できます。さらに、電場の磁束は必ずしも閉曲面を通じてではなく、任意の境界曲面を通じて決定できます。非ゼロ領域 S 。

ベクトル場の循環

より明確にするために、場をいわゆる力線の形で表すことができることは誰にもよく知られており、各点での接線の方向は場の強さの方向と一致します。

流体の例えに戻り、流体の速度場を想像してみましょう。流体は循環しているのか? という質問を自問してみましょう。つまり、主に想像上の閉ループの方向に動くのでしょうか?

より明確にするために、大きな容器内の液体が何らかの形で動いていると想像してください (図 A)。その体積のほぼすべてが突然凍結しましたが、その体積は、内部に何も入っていない均一に閉じられた管の形でなんとか凍結せずに残されました。壁上の液体の摩擦（図b）。

この管の外側では、液体は氷になり、もはや動くことができませんが、管の内側では、液体を例えば時計回りの方向に動かす優勢な運動量がある限り、液体は動き続けることができます（図2）。 .℃）。このとき、管内の流体速度と管の長さの積は、流体速度循環と呼ばれます。

同様に、ベクトル場の循環を定義できます。この場も何かの速度であるとは言えませんが、それでも等高線に沿った「循環」の数学的特性を定義できます。

したがって、仮想の閉ループに沿ったベクトル場の循環は、ループの通過方向のベクトルの平均接線成分とループの長さの積として定義できます。