接触回路代数、ブール代数の法則

リレー回路の構造と動作条件の解析記録により、回路の等価変換を解析的に実行することができます。つまり、構造式を変換して、動作が類似するスキームを見つけることができます。特に接点回路を表す構造式の変換方法が充実しています。

接触回路には、論理代数の数学的装置が使用されます。より正確には、命題計算またはブール代数 (前世紀の数学者 J. ブールにちなんで) と呼ばれる、その最も単純な変種の 1 つが使用されます。

命題微積分はもともと、依存性 (複雑な判断を構成する単純な命題の真偽についての真偽) を研究するために開発されました。本質的に、命題微積分は 2 つの数の代数、つまり次の代数です。個々の引数と各関数は 2 つの値のうち 1 つを持つことができます。

これにより、ブール代数を使用して接点回路を変換する可能性が決まります。構造式に含まれる各引数 (接点) は 2 つの値のみを取ることができ、つまり、閉または開であり、関数全体が構造式で表されるためです。数式は、閉ループまたは開ループのいずれかを表現できます。

ブール代数では次のことが導入されます。

1) 通常の代数と同様に、独立した変数と関数という名前を持つオブジェクト。ただし、通常の代数とは異なり、ブール代数では両方とも 0 と 1 の 2 つの値のみを取ることができます。

2) 基本的な論理演算:

• 論理和 (または、論理和、記号 ? で示される論理和)。次のように定義されます。演算のすべての引数が 0 に等しい場合に限り、演算の結果は 0 になり、それ以外の場合、結果は 1 になります。

• 論理乗算 (または連結、論理 AND、? で示されるか、まったく指定されない)。次のように定義されます。演算のすべての引数が 1 に等しい場合に限り、演算の結果は 1 になり、それ以外の場合は結果が 1 になります。 0です。

• 否定 (またはその逆、論理 NOT、引数の上のバーで示されます)。これは次のように定義されます。演算の結果は引数の反対の値になります。

3) 公理 (ブール代数の法則)。論理式を変換するための規則を定義します。

各論理演算は、変数と関数の両方に対して実行できることに注意してください。これらは、以下ではブール関数と呼ばれます... 通常の代数と同様に、ブール代数では、論理乗算の演算が論理乗算の演算よりも優先されることを思い出してください。加算操作。

ブール式は、演算の引数と呼ばれる、多数のオブジェクト (変数または関数) に対する論理演算を組み合わせることによって形成されます。

ブール代数の法則を使用した論理式の変換は、通常、最小化を目的として実行されます。これは、式が単純であればあるほど、論理式の技術的な実装である論理チェーンの複雑さが小さくなるためです。

ブール代数の法則は、一連の公理と結果として表されます。これらは、変数のさまざまな値を代入することで非常に簡単にチェックできます。

ブール関数の論理式の技術的な類似点は論理図です。この場合、ブール関数が依存する変数はこの回路の外部入力に接続され、ブール関数の値は、回路の外部出力であり、論理式の各論理演算は論理要素によって実装されます。

したがって、論理回路の出力における入力信号のセットごとに、この変数セットのブール関数の値に対応する信号が生成されます (さらに、次の規則を使用します: 0 - 低信号レベル) 、1 — 信号の高レベル)。

論理回路を構築するときは、変数がパラフェーズ コードで入力に供給されることを前提とします (つまり、変数の直接値と逆値の両方が利用可能です)。

表 1 は、GOST 2.743-91 に準拠したいくつかの論理要素の従来のグラフィック指定と、それらの外国の対応物を示しています。

ブール代数の 3 つの演算 (AND、OR、NOT) を実行する要素に加えて、タブ内にあります。 1 は、メインから派生した操作を実行する要素を示しています。

— AND -NOT — 論理乗算の否定。シェーファー移動とも呼ばれます (| で示されます)

— OR -NOT — 論理補数の否定。パースの矢印とも呼ばれます (? で示されます)。

論理ゲートを直列に接続することで、任意のブール関数を実装できます。

リレー回路一般を表す構造式、つまり反応するワシのシンボルを含む構造式は、閉回路または開回路のみを表す 2 つの値の関数と見なすことはできません。したがって、このような関数を使用すると、ブール代数の限界を超える多くの新しい依存関係が発生します。

ブール代数には、2 つの変位、2 つの組み合わせ、2 つの分配、および 2 つの法的反転の 4 つの基本法則のペアがあります。これらの法則は、異なる式の等価性を確立します。つまり、通常の代数における恒等式の置換のように、相互に置換できる式を考慮します。等価記号としては、通常の代数における等価記号（＝）と同じ記号を採用する。

接触回路に対するブール代数の法則の妥当性は、等価式の左辺と右辺に対応する回路を考慮することによって確立されます。

旅行法

追加するには: x + y = y + x

これらの式に対応する概略図を図に示します。 1、a.

左右の回路は通常は開いた回路で、要素 (X または Y) の 1 つがトリガーされるとそれぞれ閉じます。つまり、これらの回路は等価です。乗算の場合: x ·y = y ·NS。

これらの式に対応する概略図を図に示します。 1b からも、それらの等価性は明らかです。

米。 1

組み合わせの法則

加算の場合: (x + y) + z = x + (y + z)

乗算の場合: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

これらの式に対応する等価回路のペアを図に示します。 2、a、b

米。 2

流通法

乗算と加算: (x + y) +z = x + (y + z)

加算と乗算。 x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

これらの式に対応する概略図を図に示します。 3、a、b。

米。 3.

これらのスキームが同等であることは、接触動作のさまざまな組み合わせを考慮することで簡単に検証できます。

逆転の法則

さらに: NS + c = NS・c

式の左側の上にあるバーは、否定または反転記号です。この記号は、関数全体が否定記号の下の式に対して反対の意味を持つことを示します。逆関数全体に対応する図を描くことはできませんが、負号の下の式に対応する図を描くことはできます。したがって、式は図のような図で表すことができます。 4、a.

米。 4.

左の図は式 x + y に対応し、右の図は NS ·c に対応します。

これら 2 つの回路は動作において互いに反対です。つまり、励起されていない要素 X、Y を含む左側の回路が開回路である場合、右側の回路は閉じます。左側の回路では、要素の 1 つがトリガーされると回路が閉じ、右側の回路では逆に開きます。

負の符号の定義により、関数 x + y は関数 x + y の逆関数であるため、x + y = NS・in であることは明らかです。

掛け算について： NS・c = NS + c

対応するスキームを図に示します。 4、b.

転座法と組み合わせ法則、および加算に関する乗算の​​分配法則 (通常の代数学の同様の法則に対応)。したがって、項の加算と乗算、括弧の外側の項の配置、括弧の拡張の順序で構造式を変換する場合は、通常の代数式を扱うために確立された規則に従うことができます。乗算に関する加算の分配法則と反転の法則は、ブール代数に特有のものです。