ビオ・サバールの法則と磁気誘導ベクトルの循環定理

1820 年、フランスの科学者ジャン バティスト ビオとフェリックス サヴァールは、直流磁場を研究するための共同実験の過程で、導体を流れる直流電流の磁気誘導は、電流によるこのワイヤのすべてのセクションの一般的な動作。これは、磁場が重ね合わせの原理（場の重ね合わせの原理）に従うことを意味します。

直流線のグループによって生成される磁界には次のような性質があります。 磁気誘導その値は、各導体によって個別に生成される磁気誘導のベクトル和として定義されるということです。つまり、直流導体の誘導 B は、考慮している直流導体 I の基本セクション dl に属する基本誘導 dB のベクトル和によって正確に表すことができます。

直流導体の基本セクションを絶縁することは実際には非現実的です。 DC いつも閉まっている。しかし、ワイヤによって生成される磁気誘導の合計、つまり、特定のワイヤのすべての基本部分によって生成される磁気誘導を測定することはできます。

したがって、ビオ・ソバールの法則により、導体のこのセクションから特定の距離 r 離れた場所で、所定の直流電流 I が流れる導体のセクション (既知の長さ dl) の磁気誘導 B の値を求めることができます。選択したセクションからの特定の観察方向 (電流の方向と、導体のセクションから導体の近くの空間内の検査点への方向との間の角度の正弦を通して設定):

磁気誘導ベクトルの方向は、右ネジまたはジンバルの法則によって簡単に決定できることが実験的に確立されました。回転中のジンバルの並進運動の方向がワイヤ内の直流電流 I の方向と一致する場合、 ジンバルハンドルの回転方向 は、特定の電流によって生成される磁気誘導ベクトル B の方向を決定します。

真っ直ぐな電流が流れるワイヤの磁場と、それにビオサバールの法則を適用した例を図に示します。

したがって、定電流導体の各小さなセクションの全磁場への寄与を積分、つまり加算すると、そこから特定の半径 R における電流導体の磁気誘導を求める公式が得られます。 。

同様に、バイオサバールの法則を使用すると、空間内の特定の点におけるさまざまな構成の直流電流から磁気誘導を計算できます。たとえば、電流が流れる円形回路の中心における磁気誘導は、次の式で求められます。次の式:

磁気誘導ベクトルの方向は、ジンバルの法則に従って簡単に見つけることができます。ジンバルを閉電流の方向に回転させるだけで、ジンバルの前方への移動によって磁気誘導ベクトルの方向が示されます。

多くの場合、磁場に関する計算は、生成する磁場によって与えられる電流構成の対称性を考慮すると簡略化できます。ここでは、磁気誘導ベクトルの循環定理 (静電気学のガウスの定理など) を使用できます。 《磁気誘導ベクトルの循環》とは何ですか？

空間内で任意の形状の特定の閉ループを選択し、条件付きでその移動の正の方向を指定してみましょう。このループの各点について、その点でのループの接線上の磁気誘導ベクトル B の投影を見つけることができます。次に、これらの量と等高線のすべてのセクションの基本長との積の合計が、この等高線に沿った磁気誘導ベクトル B の循環になります。

ここで一般的な磁場を生成する実質的にすべての電流は、検討中の回路を貫通するか、またはその一部が回路の外側に存在する可能性があります。循環定理によると、閉ループ内の直流電流の磁気誘導ベクトル B の循環は、磁気定数 mu0 とループを通過するすべての直流電流の合計の積に数値的に等しくなります。この定理は 1826 年にアンドレ マリー アンペールによって定式化されました。

上の図を考えてみましょう。ここで、電流 I1 と I2 は回路を通過しますが、方向が異なるため、条件付きで符号が異なります。正の符号には、磁気誘導の方向（基本規則に従って）が選択した回路のバイパスの方向と一致する電流が流れます。この状況では、循環定理は次の形式になります。

一般に、磁気誘導ベクトル B の循環に関する定理は、磁場の重ね合わせ原理とビオ・サバールの法則に従います。

たとえば、直流導体の磁気誘導の公式を導き出します。このワイヤがその中心を通過し、ワイヤが輪郭の平面に垂直になる円の形の輪郭を選択しましょう。

したがって、円の中心は導体の中心、つまり導体の中に直接存在します。画像は対称であるため、ベクトル B は円の接線方向を向いており、接線への投影はどこでも同じであり、ベクトル B の長さに等しくなります。循環定理は次のように記述されます。

したがって、直流電流による直線導体の磁気誘導の公式は次のようになります (この公式はすでに上で与えられています)。同様に、循環定理を使用すると、磁力線の図が容易に視覚化できる対称 DC 構成の磁気誘導を簡単に見つけることができます。

循環定理の実際に重要な応用例の 1 つは、トロイダル インダクター内の磁場を見つけることです。

ドーナツ型のボール紙の枠に、N 回巻かれたトロイダル コイルがあるとします。この構成では、磁気誘導線はドーナツの内側に囲まれ、形状は同心円になります。 。

ドーナツの内軸に沿った磁気誘導ベクトルの方向を見ると、電流は時計回りに（ジンバルの法則に従って）どこにでも向けられていることがわかります。コイル内の磁気誘導の線 (赤で表示) の 1 つを考慮し、それを半径 r の円形ループとして選択します。次に、特定の回路の循環定理は次のように記述されます。

そして、コイル内の磁場の磁気誘導は次のようになります。

磁場が断面全体にわたってほぼ均一である薄いトロイダル コイルの場合、単位長さあたりの巻き数を考慮して、あたかも無限に長いソレノイドのように磁気誘導の式を書くことができます。 n :

ここで、磁場が完全に内側にある無限に長いソレノイドを考えてみましょう。選択した長方形の輪郭に循環定理を適用します。

ここで、磁気誘導ベクトルは辺 2 にのみ非ゼロ投影を与えます (その長さは L に等しい)。パラメータ n — «単位長さあたりの巻き数» を使用すると、循環定理のこのような形式が得られ、最終的には multitonCoy トロイダル コイルの場合と同じ形式になります。