AC回路の計算に複素数が使用される理由
ご存知のとおり、複素数は電気工学におけるいくつかの典型的な問題を解決するために使用されます。しかし、それらは何に使用され、なぜこのように行われるのでしょうか?これが、この記事の中で理解しようとしていることです。実際、複素法または複素振幅法は、複雑な AC 回路を計算するのに便利です。まず、数学の基本をいくつか思い出してみましょう。
ご覧のとおり、複素数 z には虚数部と実数部が含まれており、これらは互いに異なり、本文中では異なる表記がされています。複素数 z 自体は、代数、三角関数、または指数形式で書くことができます。
歴史的背景
虚数の考え方は、イタリアの数学者、技術者、哲学者、医師、占星術師であるジローラモ カルダーノが、彼の論文「偉大なる芸術」の中で方程式を解くこの方法を発表した 1545 年に始まったと考えられています。 、彼はこの著作の出版の6年前にニッコロがタルターリア（イタリアの数学者）にアイデアを与えたことを認めた。クラダノは彼の作品の中で、次の形式の方程式を解きます。
これらの方程式を解く過程で、科学者は、その二乗がマイナス 1 «-1» に等しい、ある «非現実的な» 数値の存在を認めることを余儀なくされました。つまり、あたかも の平方根があるかのようです。負の数であり、これを 2 乗すると、根の下の対応する負の数になります。カルダノは乗算の規則を次のように述べています。
3 世紀にわたって、数学コミュニティはカルダノによって提案された新しいアプローチに慣れる過程にありました。虚数は徐々に定着しつつあるが、数学者は受け入れたがらない。 19 世紀が目前に迫っていたのは、ガウスが代数の基本定理を証明した代数に関する著作が出版されてからであり、複素数がついに完全に受け入れられました。
虚数の存在を受け入れることで最も複雑な問題の解決がはるかに容易になったため、虚数は数学者にとって真の救世主となりました。
そこですぐに電気工学の分野に行き着きました。 AC 回路は非常に複雑な場合があり、その計算には多くの積分を計算する必要があり、非常に不便なことがよくありました。
最後に、1893 年に、優秀な電気技術者カール・アウグスト・スタインメッツが、シカゴで開催された国際電気技術会議で「複素数とその電気工学への応用」という報告書を発表し、実際に技術者による複雑な方法の実用化の始まりとなりました。交流電流の電気回路を計算します。
私たちは物理学の授業でこれを知っています 交流電流 — これは、時間の経過とともに大きさと方向の両方が変化する電流です。
技術的には、さまざまな形式の交流がありますが、今日最も一般的なのは交流正弦波です。これはどこでも使用されており、交流の形で電気が送られ、生成され、変換されます。変圧器によって消費され、負荷によって消費されます。正弦波電流は、正弦波 (高調波) の法則に従って周期的に変化します。
電流と電圧の実効値は、2 倍の平方根の振幅値よりも小さくなります。
複雑な方法では、電流と電圧の実効値は次のように記述されます。
電気工学では、電流を表すために文字「i」がすでに使用されているため、虚数単位は文字「j」で表されることに注意してください。
から オームの法則 抵抗の複素数値を決定します。
複素数値の加算と減算は代数形式で実行され、乗算と除算は指数形式で実行されます。
主要パラメータの特定の値を持つ特定の回路の例を使用して、複素振幅の方法を考えてみましょう。
複素数を使用して問題を解く例
与えられる:
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コイル電圧50V、
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抵抗器の抵抗値 25 オーム、
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コイルインダクタンス500mH、
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コンデンサの電気容量は 30 マイクロファラッドです。
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コイル抵抗10オーム、
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主電源周波数 50 Hz。
検索: 電流計と電圧計の測定値、および電力計。
答え：
まず、実数部と虚数部で構成される直列接続素子の複素抵抗を書き留め、次に能動誘導素子の複素抵抗を求めます。
覚えています！指数形式を取得するには、実数部と虚数部の二乗和の平方根に等しい法 z と、虚数部を実数部で割った商の逆正接に等しい phi を求めます。
次に、電流を求め、それに応じて電流計の測定値を求めます。
したがって、電流計は 0.317 A の電流を示します。これは直列回路全体を流れる電流です。
次に、コンデンサの容量抵抗を見つけて、その複素抵抗を決定します。
次に、この回路の合計複素インピーダンスを計算します。
ここで、回路に印加される実効電圧を求めます。
電圧計は実効電圧 19.5 ボルトを示します。
最後に、電流と電圧の位相差を考慮して、電力計が表示する電力を求めます。
電力計は 3.51 ワットを示します。
これで、電気工学において複素数がいかに重要であるかが理解できました。これらは電気回路の計算に便利です。多くの電子測定装置は同じ基盤で動作します。