番号体系

記数法は、さまざまな数字記号を使用して数値を表すための一連の規則です。数値体系は、非位置指定と位置指定の 2 つのタイプに分類されます。

位置記数法では、各桁の値は、その桁が占める位置、つまり桁のセット内でその桁が占める位置には依存しません。ローマ数字体系には、1 (I)、5 (V)、10 (X)、50 (L)、100 (C)、500 (D)、1000 (M) の 7 桁しかありません。これらの数字（記号）を使って、足し算と引き算で残りの数字を書きます。たとえば、IV は数値 4 (V — I) の表記、VI は数値 6 (V + I) などです。数字 666 はローマ字表記で次のように表記されます: DCLXVI。

この表記法は、現在使用されている表記法よりも利便性が劣ります。ここでは、6 は 1 つの記号 (VI)、6 10 は別の記号 (LX)、600 と 3 (DC) で書かれます。ローマ数字で書かれた数字を使って算術演算を行うのは非常に困難です。また、非位置システムの一般的な欠点は、非位置システムで非常に大きな数値を表現するのが複雑で、表記が非常に煩雑になることです。

次に、位置番号体系における同じ番号 666 を考えてみましょう。この中で、単一の記号 6 は、最後尾にある場合は 1 の数、最後から 2 位にある場合は 10 の数、最後から 3 位にある場合は 100 の数を意味します。数値を記述するこの原則は、位置 (ローカル) と呼ばれます。このような記録では、各桁は、そのスタイルだけでなく、数字が書かれたときの位置にも応じて数値を受け取ります。

位置記数法では、A = +a1a2a3 … ann-1an として表される任意の数値は和として表すことができます。

ここで、n — 数値イメージ内の有限桁数、ii 数値 i-go 桁、d — 記数法の基本、i — カテゴリの序数、dm-i — i-ro カテゴリの「重み」 。数字 ai は、不等式 0 <= a <= (d — 1) を満たさなければなりません。

10 進数表記の場合、d = 10、ai = 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 となります。

1 と 0 で構成される数値は、一緒に使用すると 10 進数または 2 進数として認識されるため、通常は (1100)2 が 2 進数、(1100)10 が 10 進数のように基数が示されます。

デジタル コンピューターでは、10 進数以外の 2 進数、8 進数、16 進数が広く使用されています。

バイナリーシステム

このシステムでは d = 2 であり、ここでは 2 桁のみ、つまり ai = 0 または 1 のみが許可されます。

2 進数で表現される数値は、指定されたビットの 2 進数の 2 の底のべき乗の積の合計として表現されます。たとえば、数値 101.01 は次のように書くことができます: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2。これは 10 進数の数値に対応します: 4 + 1 + 0.25 = 5.25

最新のデジタル コンピューターのほとんどでは、マシン内で数値を表現し、算術演算を実行するために 2 進数システムが使用されています。

２進法は１０進法に比べて演算装置や記憶装置の回路や回路を簡略化することができ、コンピュータの信頼性を高めることができる。 2進数の各ビットの桁は、トランジスタやダイオードなどの素子の「オン/オフ」状態によって表され、「オン/オフ」状態で確実に動作します。 2 進数システムの欠点には、特別なプログラムに従って元のデジタル データを 2 進数システムに変換し、決定の結果を 10 進数に変換する必要があることが含まれます。

8 進数体系

このシステムの基数は d == 8 です。数値を表すために数字が使用されます: 0、1、2、3、4、5、6、7。

8 進数体系は、(プログラミング プロセスで) 解決する問題を準備したり、マシンの動作をチェックしたり、プログラムをデバッグしたりする際の補助としてコンピューターで使用されます。このシステムでは、2 進数システムよりも短い数値表現が得られます。 8 進数システムでは、2 進数システムに簡単に切り替えることができます。

16 進数体系

このシステムの基底は d = 16 です。16 個の文字が数値を表すために使用されます: 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F、文字 A ～ F は、10 進数の 10、11、12、13、14、および 15 を表します。(1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ であるため、16 進数の (1D4F) 18 は 10 進数の 7503 に対応します。 15×16O = (7503)10

16 進表記を使用すると、2 進数を 8 進数よりもコンパクトに記述することができます。一部のコンピュータの入出力デバイスや番号順表示デバイスに応用されています。

2進10進数体系

2 進 10 進法での数値の表現は次のとおりです。数値の 10 進表記が基礎として使用され、その各桁 (0 から 9) が 4 進数と呼ばれる 4 桁の 2 進数の形式で書き込まれます。つまり、表すのに 1 つの符号は使用されません。 10 進法の各桁、ただし 4 つです。

たとえば、10 進数の 647.59 は、BCD 0110 0100 0111、0101 1001 に対応します。

2 進 10 進数体系は、中間数体系として、また入力数値と出力数値をエンコードするために使用されます。

ある番号体系を別の番号体系に移行するためのルール

コンピュータ装置間の情報の交換は、主に 2 進数で表される数値を介して行われます。ただし、情報は 10 進数でユーザーに表示され、コマンドのアドレス指定は 8 進数で表示されます。したがって、コンピュータを使用する過程で、あるシステムから別のシステムに番号を転送する必要があります。これを行うには、次の一般規則を使用します。

整数を任意の記数法から別の記数法に変換するには、商が除数以上になるまで、この数値を新しい記数法での底で割る必要があります。新しい体系の数値は、最後のものから、つまり右から左へ、割り算の余りの形式で書かれなければなりません。

たとえば、10 進数の 1987 を 2 進数に変換してみましょう。

10 進数 1987 をバイナリ形式で表すと、11111000011 になります。 (1987)10 = (11111000011)2

任意の体系から 10 進数に変更する場合、数値は基数と対応する係数の累乗の合計として表され、その合計の値が計算されます。

たとえば、8 進数 123 を 10 進数に変換してみましょう: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83、つまり(123)8 = (83)10

数値の小数部分を任意の体系から別の体系に転送するには、この分数と、その結果得られる積の小数部分とを新しい記数体系に基づいて連続的に乗算する必要があります。新しいシステムにおける数値の小数部は、結果の積の整数部分の形で最初から順に形成されます。乗算プロセスは、指定された精度の数値が計算されるまで続行されます。

たとえば、小数部 0.65625 を 2 進数系に変換してみましょう。

5 番目の積の小数部は 0 だけで構成されているため、それ以上の乗算は不要です。これは、指定された 10 進数がエラーなしで 2 進数に変換されることを意味します。 (0.65625)10 = (0.10101)2。

8 進数と 16 進数から 2 進数への変換、またはその逆の変換は難しくありません。これは、それらの基数 (d_8 および d_16) が 2 の整数 (23 = 8 および 24 = 16) に対応するためです。

8 進数または 16 進数を 2 進数に変換するには、それぞれの数値を 3 桁または 4 桁の 2 進数に置き換えるだけで十分です。

たとえば、8 進数 (571)8 と 16 進数 (179)16 を 2 進数に変換してみましょう。

どちらの場合でも、同じ結果が得られます。 (571)8 = (179)16 = (101111001)2

数値を 2 進 10 進数から 10 進数に変換するには、2 進 10 進数で表された数値の各 4 進数を 10 進数で表された数字に置き換える必要があります。

たとえば、数値 (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2 ～ 10 を 10 進数で書いてみましょう。 (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218,625)